1․ O հատման կետը KE և BC հատվածների միջնակետն է: Ապացուցել, որ △COE = △KOB:

Քանի որ, COE KOB հակադիր են նրանք ՝ հավասար են

2. Տրված է ուղղանկյուն: Ապացուցել, որ △GOF=△HOE ։

Քանի որ, հակադիր անկյուները հավասար են ՝ △GOF=△HOE

3․O հատման կետը AG և LV հատվածների միջնակետն է: Գտնել ∠A և ∠L անկյունների մեծությունները ALO եռանկյան մեջ, եթե ∠V=24° և ∠G=33°։

A=33°, L= 24°

4․ O հատման կետը AF և BV հատվածների միջնակետն է: Գտնել ABO եռանկյան AB և BO կողմերի երկարությունները, եթե FV = 17 սմ, և VO = 8 սմ:

BO=8 սմ

AB =17 սմ

5․ Տրված է O կենտրոնով և CO շառավղով շրջանագիծ: Ապացուցել, որ BOC և COD եռանկյունները հավասար են։

Քանի որ BC հավասար չե DC և անկյուները իրար համապատասխանաբար հավասար են չեն ՝ տրված անկյուները իրար հավասար չեն։

6․ Ապացուցել, որ △MGS=△GMP և գտնել ∠MGS անկյան մեծությունը, եթե ∠GMP=40°-ի:

Քանի որ եռանկյունների բոլոր կողմերի համապատասխանաբար հավասար են ՝ MGS GMP

Քանի որ ՝ △ MGS=△GMP

7․Տրված է DCBA ուղղանկյունը: Հավասար են արդյո՞ք AOD և AOB եռանկյունները:

8․ Ապացուցել, որ նկարում պատկերված եռանկյուններն իրար հավասար են։

Թեմա՝ <<Կից և հակադիր անկյուններ>> թեմայի կրկնություն։

Առաջադրանքներ։

1․ Գծել երեք անկյուն՝ սուր, ուղիղ, բութ: Գծել նաև դրանց յուրաքանչյուրի կից անկյունը:

2․ Նկարում պատկերված է երեք ուղիղ, որոնք հատվում են O կետում: Գտեք անկյունների գումարը՝ ∠1+∠2+∠3:

∠1+∠2+∠3=180°

3․ Գտեք ABC անկյան կից անկյունը, եթե` ա) ∠ABC=124⁰ բ) ∠ABC=90⁰ գ) ∠ABC=53⁰

ա)66⁰

բ)90⁰

գ)127⁰

4․  Գտեք  hk և kl կից անկյունները, եթե` ա) ∠hk-ն 40⁰-ով փոքր է ∠kl-ից, բ) ∠hk=4∠kl, գ) ∠hk : ∠kl= 2:7

ա)180⁰-40⁰=140⁰

140⁰:2=70⁰+40⁰=110⁰/kl/

բ)180⁰:5=36⁰/kl/

36⁰x4=144⁰/hk/

գ)180⁰:9=20⁰

7×20⁰=140⁰/hk/

9×10⁰=180⁰/kl/

5․ Տրված է, որ ∠1=114°,∠8=52°: Հաշվել բոլոր անկյունները:

∠1=∠4=114°

∠1+∠2=180°

180°-114°=66°/∠2, ∠3/

∠5=∠8=52°

180°-52°=128°/∠6, ∠7/

6․ Գտնել ∠4, ∠3,∠1, եթե ∠2=27°:

∠2=∠4=27°

180°-27°=153°/∠3=∠1/

7․ Որոշել տրված գծագրում հակադիր անկյունները:

∠4=∠8

∠3=∠7

∠2=∠6

∠1=∠5

8․ Արդյո՞ք ներքևի գծագրի ∠1-ը և ∠2-ը կից անկյուններ են:

Ոչ, նրանք կից անկյուններ չեն։ Հակադիր են։

9․Գտնել անկյունները, եթե ∠CBD=30°:

∠CBD=ABE=∠30°

30°+30°=60°

Թեմա՝ Ուղիղ, հատված, անկյուն թեմաների կրկողություն։

Առաջադրանքներ։

1․ Գտիր, թե ո՞ր պնդումներն են համապատասխանում C∉p գրառմանը.

• C ուղիղն անցնում է p կետով
• p ուղիղը չի անցնում C կետով
• C կետը p ուղղի կետ է
• C կետը չի գտնվում p ուղղի վրա
• C կետը գտնվում է p ուղղի վրա
• p ուղիղը անցնում է C կետով

2․ Գտիր ճիշտ պնդումները նույն հարթության վրա գտնվող կետերի և ուղիղների վերաբերյալ.

• Ոչ մի ուղղի վրա չկա երեքից ավելի կետ:
• Ցանկացած ուղղի վրա կան անվերջ թվով կետեր:
• Ցանկացած երկու կետերով անցնում է միակ ուղիղը:
• Ցանկացած երեք կետերով կարելի է տանել ուղիղ:
• Մեկ կետով կարելի է տանել միակ ուղիղը:
• Ցանկացած կետով անցնում են անվերջ թվով ուղիղներ:
• Որոշ երեք կետերով կարելի է տանել ուղիղ:
• Կա այնպիսի կետ, որով ոչ մի ուղիղ չի անցնում:

3․ Քանի՞ հատված կա հետևյալ նկարում:

Նկարում կա 9 հատված։

4․ Գտիր ∢DBC-ն, եթե ∢CBA=47° և ∢ABD=90°։

90°-47°=43°

5․ Պարզիր MLK անկյան տեսակը՝

ուղիղ փռված բութ սուր

6․ CG ճառագայթը ECD անկյունը կիսում է երկու հավասար անկյունների: Գտիր GCE անկյունը, եթե ∢ECD=20°:

20°:2=10°

7․ Տրված է, որ՝ CG-ն կիսում է ECD անկյունը և CE-ն կիսում է FCD անկյունը: Հաշվիր DCG և FCD անկյունները, եթե ∢ECD=20°:

DCG=10°

FCD=20°+20°=40°

1. AB ուղիղը զուգահեռ է CD ուղղին։ Գտնել այդ ուղիղների հեռավորությունը, եթե ∠DAC = 60^o, AD = 10 սմ։

10:2=5

2․ ABC հավասարակողմ եռանկյան մեջ տարված է BD կիսորդը։ D կետի և BC ուղղի միջև հեռավորությունը 8 սմ է։ Գտեք B գագաթի հեռավորությունը AC ուղղից։

8:2=4

3. Գծել փակ բեկյալ և բաց բեկյալ։

4․ Գծել փակ բեկյալ, որը կազմված է երեք օղակից։

 5․ Գծել փակ բեկյալ, որը կազմված է չորս օղակից։

6․ Գծել բաց բեկյալ, որը կազմված է չորս օղակից։

7․ Գծել երկու զուգահեռ ուղիղներ, որոնց հեռավորությունը լինի 5 սմ։

1․Քառանիստի վերաբերյալթվարկված պնդումներից ո՞րն է ճիշտ: Ընտրել ճիշտ պնդումը:

• Քառանիստի լրիվ մակերևույթը չորս քառանկյուններ են:
• Քառանիստի կողմնային մակերևույթը երեք եռանկյուններ են:
• Քառանիստի յուրաքանչյուր նիստ ուղղանկյուն է:

2․ Հետևյալնկարներից ո՞րն է քառանիստը: Նշել ճիշտ տարբերակը:

ա)

Այո

բ)

ոչ

գ)

ոչ

3. Ի՞նչ հատկություններ ունի հետևյալտարածաչափական պատկերը:

ա) Անվանումը՝

• քառանիստ
• կանոնավոր քառանիստ
• հավասարանիստ
• կանոնավոր եռանկյուն բուրգ
• կանոնավոր զուգահեռանիստ

բ) Նկարագիրը՝ Բոլոր չորս նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ  են:

գ) Հատկությունները՝

• կողմնային նիստերը ուղղահայաց են հիմքին
• բոլոր կողերը հավասար են
• բոլոր նիստերը հավասար եռանկյուններ են
• բոլոր նիստերը եռանկյուններ են
• բոլոր կողմնային կողերը հավասար են
• չունի զուգահեռ նիստեր
• հիմքում հավասարակողմ եռանկյուն է
• բոլոր կողմնային նիստերը հավասար եռանկյուններ են
• ունի երկու հիմք

Ոչ կանունավոր

ա) Անվանումը՝

• քառանիստ
• կանոնավոր քառանիստ
• հավասարանիստ
• կանոնավոր եռանկյուն բուրգ
• կանոնավոր զուգահեռանիստ

բ) Նկարագիրը՝ Բոլոր չորս նիստերը եռանկյուներն   են:

գ) Հատկությունները՝

• կողմնային նիստերը ուղղահայաց են հիմքին
• բոլոր կողերը հավասար են
• բոլոր նիստերը հավասար եռանկյուններ են
• բոլոր նիստերը եռանկյուններ են
• բոլոր կողմնային կողերը հավասար են
• չունի զուգահեռ նիստեր
• հիմքում հավասարակողմ եռանկյուն է
• բոլոր կողմնային նիստերը հավասար եռանկյուններ են
• ունի երկու հիմք

4․ Տրված է TPRS քառանիստը: Որոշել բոլոր կողերի գումարը, եթե քառանիստը կանոնավոր է և նրա մի կողի երկարությունը 7.5 սմ է:

7,5×6=65

5․ Կանոնավոր քառանիստի կողը 18 սմ է: Հաշվել կանոնավոր քառանիստի պարագիծը։

18×6=108

6․ Կանոնավոր քառանիստի բոլոր կողերի գումարը 48 սմ է: Հաշվել կանոնավոր քառանիստի կողի երկարությունը։

48:6=8

1․ Նշել բեկյալները:

Այո

Այո

2․ Տրված է 3 կետ: Քանի՞ երկու կողմերով տարբեր բեկյալներ կարելի է գծել, որոնց գագաթները տրված կետերն են: Գծել գծագիրը;

3

3․ Առանց ինքնահատումների փակ բեկյալն ունի 4 կողմ: Կարող են արդյո՞ք նրա կողմերն ունենալ հետևյալ երկարությունները:

ա) 6 սմ, 5 սմ, 4 սմ, 3 սմ; բ) 2 սմ, 2 սմ, 3 սմ, 7 սմ:

4. Տրված են 4 կետեր: Քանի՞ տարբեր բաց ու փակ (բայց առանց ինքնահատումների) բեկյալներ կարելի է գծել, որոնց գագաթները տրված կետերն են:

ա) Երկու կողմերով բեկյալների թիվը՝ 4

բ) Երեք կողմերով բաց բեկյալների թիվը՝ 4

գ) Երեք կողմերով փակ բեկյալների թիվը՝ 4

դ) Չորս կողմերով փակ բեկյալների թիվը՝ 1

5. Նկարում հատվածների միջոցով պատկերված են թվանշաններ: Դրանցից որո՞նք են՝ ա) պարզ բեկյալ, բ) պարզ փակ բեկյալ։

6․ Նվազագույնը քանի՞ օղակ ունի՝ բեկյալը, փակ բեկյալը:

7․ Առնվազն քանի՞ օղակ ունի բեկյալը, եթե այն ունի մի ուղղի վրա գտնվող ոչ հարևան օղակներ: Գծագրեք այդպիսի բեկյալ:

8․Որքա՞ն կարող է լինել AB հատվածի երկարությունը, եթե նրա ծայրակետերը միացված են բեկյալով, որի օղակների երկարություններն են՝ ա) 6 սմ, 8սմ, 10սմ, բ) 2սմ, 3,1սմ և 5,3սմ:

9․ Բեկյալը բաղկացած է 5 հատվածից որոնց երկարություններն են 2 սմ, 5 սմ, 8 սմ, 11 սմ և 20 սմ։ Հաշվել բեկյալի երկարությունը։

1․Նշել այն հատվածը, որը X կետի հեռավորությունն է a ուղղից։

GX

2․Հեռավորությունը a և b զուգահեռ ուղիղների միջև 19 սմ է, իսկ հեռավորությունը a և c զուգահեռ ուղիղների միջև՝ 34 սմ:

ա Որոշել b և c ուղիղների փոխադարձ դասավորվածությունը:
b և c ուղիղները իրար զուգահեռ են:

բ Որքա՞ն է հեռավորությունը b և c ուղիղների միջև:
34-19=15

3․ T կետից ուղղին տարված են TP ուղղահայացը և TR թեքը: GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը և որոշել T կետի հեռավորությունը ուղղից, եթե ուղղահայացի և թեքի երկարությունների գումարը 32 սմ է, իսկ դրանց տարբերությունը՝ 2 սմ:

32-2=30
30:2=15
15+2=17

TP=15 սմ
TR=17 սմ

4․ Հավասարակողմ եռանկյան մեջ տարված է AM=29 սմ երկարությամբ միջնագիծը: Հաշվել M կետի հեռավորությունը AC կողմից: GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը։

14,5 սմ

5․ ABC հավասարասրուն եռանկյան AB և BC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: BM ուղիղը հատում է AC հիմքը N կետում: Որոշել  AN−ը, եթե AC=50 սմ:

50:2=25
AN=25

6․ ABC հավասարակողմ եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը: D կետի և AC ուղղի միջև հեռավորությունը 10 սմ է: Գտեք A գագաթի հեռավորությունը BC ուղղից:

20 սմ

7․ CDE ուղղանկյուն եռանկյան CE ներքնաձիգի և CD էջի գումարը 33 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 5 սմ: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը DE ուղղից:

CD=14սմ

8․ CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտնել ∠ECF-ը, եթե ∠D=64⁰:

180-64=116
116:2=58
90-58=32

<ECF=32^o

1. Կետից տարված են ուղղին ուղղահայաց և թեք, որոնց երկարությունների գումարը 16 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 2 սմ: Գտեք կետի հեռավորությունը ուղղից:

 2. CDE ուղղանկյուն եռանկյան CE ներքնաձիգի և CD էջի գումարը 31 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 3սմ: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը DE ուղղից:

3. Գտնել C կետի հեռավորությունը a ուղղից։

4․ Գտնել B կետի հեռավորոիթյունը AC-ից։

5. Գտնել B կետի հեռավորոիթյունը a ուղղից։

6. CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտեք ∠ECF-ը, եթե ∠D=54⁰:

7. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 7,6 սմ է, իսկ եռանկյան սրունքը՝ 15,2 սմ: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները:

8. ABC հավասարասրուն սուրանկյուն եռանկյան AB և AC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե ∠BMC=140⁰:

Առաջադրանքներ:

1. Նկարում BC=AD, BK=DP, DP⟂AB, BK⟂CD: Ապացուցել, որ AP=CK:

Քանի որ APD և BKC եռանկյունները ուղղանկյուն եռանկյուններ են և իրար հավասար են ըստ եռանկյունների 4-րդ հայտանիշի։

2․ Նկարում BC=AD, BD-ն ուղղահայաց է և AB-ին, և CD-ին։ Ապացուցել, որ AB=CD:

Նրանք իրար հավասար են ըստ ուղղանկյուն եռանկյունների վերջին հայտանիշի։

3․ Նկարում ∠BAC= ∠DCA, ∠CAD=∠ACB=90^o: Ապացուցել, որ ∠ADC=∠ABC

Նրանք իրար հավասար են ըստ ուղղանկյուն եռանկյունների երկրորդ հայտանիշի։

4․ Նկարում ∠C=∠D=90^o, ∠ABC=∠DAB: ԱպացուցելԵ, որ AD=CB:

Նրանք իրար հավասար են ըստ ուղղանկյուն եռանկյունների երկրորդ հայտանիշի։

5․Նկարում BP=CK, AP=KD, ∠APB=∠DKC=90^o: Ապացուցել, որ AB=CD

Նրանք իրար հավասար են ըստ ուղղանկյուն եռանկյունների երրորդ հայտանիշի։

6․ ABC եռանկյան մեջ BK բարձրությունը հավասար է BC կողմի կեսին, ∠A=80^o: Գտնել եռանկյան մյուս անկյունները:

180-(80-30)=70

30, 70

1. Կետից տարված են ուղղին ուղղահայաց և թեք, որոնց երկարությունների գումարը 16 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 2 սմ: Գտեք կետի հեռավորությունը ուղղից:

ak+am=16 սմ

ak-am=2սմ

(16-2):2=7

7+2=9սմ

ak=7սմ

am=9սմ

 2. CDE ուղղանկյուն եռանկյան CE ներքնաձիգի և CD էջի գումարը 31 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 3սմ: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը DE ուղղից:

ce+cd=31

ce-cd=3

(31-2):2=28

28:2=14

14+3=17

պատ ․՝ cd=14 ce=17

3. Գտնել C կետի հեռավորությունը a ուղղից։

Քանի որ եռանկյուն A B C հավասարասրուն է ապա c k բարձրությունը կլինի նաև միջնագծի կիսորդ։ AK=KB=7սմ: Եռանկյունը AKC հավասարասրուն է, այստեղից CK=AK=7սմ

4․ Գտնել B կետի հեռավորոիթյունը AC-ից։

5. Գտնել B կետի հեռավորոիթյունը a ուղղից։

bd=ab=2

A=30 ապա

6. CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտեք ∠ECF-ը, եթե ∠D=54⁰:

7. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 7,6 սմ է, իսկ եռանկյան սրունքը՝ 15,2 սմ: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները:

8. ABC հավասարասրուն սուրանկյուն եռանկյան AB և AC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե ∠BMC=140⁰: