Թեմա՝ Վեկտորի կոորդինատները:

Վեկտորի վերածումը՝ երկու տարագիծ վեկտորների․

Հիշենք, որ վեկտորը k≠0 թվով բազմապատկելիս ստանում ենք երկու համագիծ վեկտորներ, ընդ որում, եթե k>0, ապա վեկտորները համուղղված են, իսկ եթե k<0, ապա վեկտորները հակուղղված են: Վեկտորների երկարությունները տարբերվում են k անգամ:

Ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը:

Եթե a և b ոչ զրոյական վեկտորները համագիծ են, ապա գոյություն ունի k≠0 թիվ այնպիսին, որ b=k⋅a։ Հիմա դիտարկենք a և b ոչ համագիծ (տարագիծ) վեկտորները:

Ասում են, որ c վեկտորը վերածվում է ըստ a և b տարագիծ վեկտորների, եթե գոյություն ունեն k և m թվեր այնպիսին, որ c=k⋅a+m⋅b

k և m թվերը կոչվում են վերածման գործակիցներ:

Ցանկացած վեկտոր կարելի է վերածել ըստ տրված երկու տարագիծ վեկտորների, ընդ որում՝ գործակիցները որոշվում են միակ ձևով:

Վեկտորի կոորդինատները.

Բազմաթիվ հարցերում հարմար է վեկտորի սկզբնակետը տեղադրել O(0;0) կետում:

Այդ դեպքում վեկտորի մոդուլն ու ուղղությունը որոշվում են միայն նրա վերջնակետի կոորդինատներով՝ B(x;y) (տես ներքևի նկարը):

a վեկտորի կոորդինատներ անվանում են a վեկտորը O(0;0) կետում տեղադրելուց առաջացած B(x;y) վերջնակետի  (x;y) կոորդինատները և գրում՝  a{x;y}։

Դիցուք տրված է A(x₁;y₁) սկզբնակետով և B(x₂;y₂) վերջնակետով a=AB վեկտորը:

Տեղադրենք a վեկտորը O(0;0) կետում և որոշենք առաջացած վեկտորի վերջնակետի կոորդինատները: Եթե նշանակենք x=x₂−x₁ և y=y₂−y₁, ապա հենց այս թվերը կլինեն a վեկտորի կոորդինատները՝ a{x;y}։

Այսպիսով՝  A(x₁;y₁) սկզբնակետով և B(x₂;y₂) վերջնակետով  a=AB վեկտորի կոորդինատները հավասար են վերջնակետի և սկզբնակետի կոորդինատների տարբերություններին՝  a{x₂−x₁;y₂−y₁}։

Վեկտորը, որի երկարությունը հավասար է հատվածների չափման միավորին, անվանում են միավոր վեկտոր: O(0;0) կետից տեղադրված, կոորդինատների առանցքների դրական ուղղություններն ունեցող i և j վեկտորները կոչվում են կոորդինատային վեկտորներ:

i-ն աբսցիսների առանցքի վրա է, իսկ j-ն՝ օրդինատների (տես ներքևի նկարը):

i և j կոորդինատային վեկտորները տարագիծ են: Հետևաբար, ցանկացած վեկտոր կարելի է վերածել՝ ըստ կոորդինատային վեկտորների: Վերևի նկարում a վեկտորի վերածումն ըստ i և j վեկտորների ունի հետևյալ տեսքը՝ a = 3⋅i + 2⋅j։

Քանի որ, ըստ տարագիծ վեկտորների վերլուծման գործակիցները միակն են, ապա՝

1) հավասար վեկտորների կոորդինատները հավասար են

2) հակադիր վեկտորների կոորդինատները հակադիր թվեր են

Այսպիսով, հակադիր վեկտորի կոորդինատները ստանալու համար պետք է վեկտորի կոորդինատները բազմապատկել −1-ով: 

Առաջադրանքներ․

1․ Գտնել տրված վեկտորների կոորդինատները, եթե

ա) a =7i + 4j a{7,4}

բ)b = -5i + 2j=b {-5,2}

գ)c = 6i= c {6,0}

դ) d = -4j=d{0,-4}

2․ Գծել Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ և i , j կոորդինատային վեկտորներ։ Կառուցել a{2; 3}, b{- 1; 4}, c{3; — 2}, d{- 2; — 3} վեկտորները, որոնց սկզբնակետը O կետն է:
3․ c վեկտորը վերածել ըստ a և b վեկտորների:

c=

4․ a, b, c, d վեկտորները վերածել ըստ i և j կոորդինատային վեկտորների և գտնել դրանց կոորդինատները:

5․ c{- 5; 6} վեկտորը a{x, y} և b{- 2; 1} վեկտորների գումարն է: Գտնել x-ը և y — ը:

x=-3 y=5

6․ Տրված են c{7; 3} և a{3; 4} վեկտորները: Գտնել c — a վեկտորի կոորդինատները:

c-a {4;-1}

7․ Տրված են a{11; — 5} և b{5; 8} վեկտորները: Գտնել a — b վեկտորի կոորդինատները:

a-b={6;-3}
8․ Տրված են a{- 4; 1} վեկտորը: Գտնել 3a , — 2a վեկտորների կոորդինատները:

3a-2a {-7;14}
9․ Տրված են a{- 2; 5} և b{3; — 4} վեկտորները: Գտնել 2a — b վեկտորին հակադիր վեկտորի կոորդինատները: